等比数列求和

我们现在令：

$$A = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024\\ 则2A = 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048$$

这样我们构造出了一个新数列，
而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
再将两个式子相减：

$$\begin{array}{r} \begin{aligned} 2A &= 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048\\ -A &= 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024\\ \hline A&=2048-1=2047 \end{aligned} \end{array}$$

再来看看下面这道题:

【例2】计算 $3+9+27+81+243+729+2187$

分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。

令 $A=3+9+27+81+243+729+2187$；

则 $3A=9+27+81+243+729+2187+6561$；

两式相减，

$3A-A=2A=6561-3$

$2A=6558$

$A=6558\div2=3279$

所以，

$3+9+27+81+243+729+2187=3279$

总结一下，等比数列的一般规律。

等比数列中，

公比$=$后一项$\div$前一项；

末项的值$=$首项 $x$ 公比的 $(n-1)$ 次方（ $n$ 代表项数）。

注意：公比的 $(n-1)$ 次方 $=(n-1)$ 个公比相乘

如【例2】中，末项是 $2187$，首项是 $3$，项数 $n=7$。

$2187=3\times 3^{7-1}$

$等比数列的和=(末项\times 公比-首项)\div (公比-1)$
参考：bilibili 数学G老师